Уравнение полных дифференциалов как решать

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Показано как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Методы решения уравнений в полных дифференциалах. Пример решения уравнения в полных дифференциалах двумя методами.

Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах – это уравнение вида:
(1) ,
где левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции U ( x, y ) от переменных x, y :
.
При этом.

Если найдена такая функция U ( x, y ). то уравнение принимает вид:
dU ( x, y ) = 0 .
Его общий интеграл:
U ( x, y ) = C ,
где C – постоянная.

Если дифференциальное уравнение первого порядка записано через производную:
,
то его легко привести к форме (1). Для этого умножим уравнение на dx. Тогда. В результате получаем уравнение, выраженное через дифференциалы:
(1).

Свойство дифференциального уравнения в полных дифференциалах

Для того, чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:
(2).

Доказательство

Далее мы полагаем, что все функции, используемые в доказательстве, определены и имеют соответствующие производные в некоторой области значений переменных x и y. Точка x 0. y 0 также принадлежит этой области.

Докажем необходимость условия (2) .
Пусть левая часть уравнения (1) является дифференциалом некоторой функции U ( x, y ) :
.
Тогда
;
.
Поскольку вторая производная не зависит от порядка дифференцирования, то
;
.
Отсюда следует, что. Необходимость условия (2) доказана.

Докажем достаточность условия (2) .
Пусть выполняется условие (2) :
(2) .
Покажем, что можно найти такую функцию U ( x, y ). что ее дифференциал:
.
Это означает, что существует такая функция U ( x, y ). которая удовлетворяет уравнениям:
(3) ;
(4) .
Найдем такую функцию. Проинтегрируем уравнение (3) по x от x 0 до x. считая что y – это постоянная:
;
;
(5) .
Дифференцируем по y считая, что x – это постоянная и применим (2) :

Уравнение (4) будет выполнено, если
.
Интегрируем по y от y 0 до y :
;
;
.
Подставляем в (5) :
(6) .
Итак, мы нашли функцию, дифференциал которой
.
Достаточность доказана.

В формуле (6). U ( x 0. y 0 ) является постоянной – значением функции U ( x, y ) в точке x 0. y 0. Ей можно присвоить любое значение.

Как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

Рассмотрим дифференциальное уравнение:
(1) .
Чтобы определить, является ли это уравнение в полных дифференциалах, нужно проверить выполнение условия (2) :
(2) .
Если оно выполняется, то это уравнение в полных дифференциалах. Если нет – то это не уравнение в полных дифференциалах.

Проверить, является ли уравнение в полных дифференциалах:
.

Здесь
.
Дифференцируем по y. считая x постоянной:

.
Дифференцируем по x. считая y постоянной:

.
Поскольку:
,
то заданное уравнение – в полных дифференциалах.

Методы решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Метод последовательного выделения дифференциала

Наиболее простым методом решения уравнения в полных дифференциалах является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого мы применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме:
du ± dv = d ( u ± v ) ;
v du + u dv = d ( uv ) ;
;
.
В этих формулах u и v – произвольные выражения, составленные из любых комбинаций переменных.

Ранее мы нашли, что это уравнение – в полных дифференциалах. Преобразуем его:
(П1) .
Решаем уравнение, последовательно выделяя дифференциал.
;
;
;
;

Метод последовательного интегрирования

В этом методе мы ищем функцию U ( x, y ). удовлетворяющую уравнениям:
(3) ;
(4) .

Проинтегрируем уравнение (3) по x. считая y постоянной:
.
Здесь φ ( y ) – произвольная функция от y. которую нужно определить. Она является постоянной интегрирования. Подставляем в уравнение (4) :
.
Отсюда:
.
Интегрируя, находим φ ( y ) и, тем самым, U ( x, y ).

Решить уравнение в полных дифференциалах:
.

Ранее мы нашли, что это уравнение – в полных дифференциалах. Введем обозначения:
.
Ищем Функцию U ( x, y ). дифференциал которой является левой частью уравнения:
.
Тогда:
(3) ;
(4) .
Проинтегрируем уравнение (3) по x. считая y постоянной:
(П2)
.
Дифференцируем по y :

Общий интеграл уравнения:
U ( x, y ) = const .
Объединяем две постоянные в одну.

Метод интегрирования вдоль кривой

Функцию U. определяемую соотношением:
dU = p ( x, y ) dx + q ( x, y ) dy ,
можно найти, если проинтегрировать это уравнение вдоль кривой, соединяющей точки ( x 0. y 0 ) и ( x, y ) :
(7) .
Поскольку
(8) ,
то интеграл зависит только от координат начальной ( x 0. y 0 ) и конечной ( x, y ) точек и не зависит от формы кривой. Из (7) и (8) находим:
(9) .
Здесь x 0 и y 0 – постоянные. Поэтому U ( x 0. y 0 ) – также постоянная.

Пример такого определения U был получен при доказательстве свойства уравнения в полных дифференциалах :
(6) .
Здесь интегрирование производится сначала по отрезку, параллельному оси y. от точки ( x 0. y 0 ) до точки ( x 0. y ). Затем интегрирование производится по отрезку, параллельному оси x. от точки ( x 0. y ) до точки ( x, y ).

В более общем случае, нужно представить уравнение кривой, соединяющей точки ( x 0. y 0 ) и ( x, y ) в параметрическом виде:
x 1 = s ( t 1 ) ; y 1 = r ( t 1 ) ;
x 0 = s ( t 0 ) ; y 0 = r ( t 0 ) ;
x = s ( t ) ; y = r ( t ) ;
и интегрировать по t 1 от t 0 до t.

Наиболее просто выполняется интегрирование по отрезку, соединяющим точки ( x 0. y 0 ) и ( x, y ). В этом случае:
x 1 = x 0 + ( x – x 0 ) t 1 ; y 1 = y 0 + ( y – y 0 ) t 1 ;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = ( x – x 0 ) dt 1 ; dy 1 = ( y – y 0 ) dt 1 .
После подстановки, получается интеграл по t от 0 до 1 .
Данный способ, однако, приводит к довольно громоздким вычислениям.

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

Автор: Олег Одинцов

Опубликовано: 2012-08-10 Изменено: 2015-07-02



уравнение полных дифференциалов как решать:Показано как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Методы решения уравнений в полных дифференциалах. Пример решения уравнения в полных дифференциалах двумя методами.