Когда слу не имеет решения

/ Лекции по математике (кафедра мехмата) / Тема_06

II. Совместность однородных и неоднородных систем.

III. Система т уравнений ст неизвестными. Правило Крамера.

IV. Матричный метод решения систем уравнений.

I. Постановка задачи.

Систему уравнений вида

называют системой m линейных уравнений сn неизвестными. Коэффициенты уравнений этой системы записывают в виде матрицы

которую называют матрицей системы (1).

Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец свободных членов<B >:

Если столбец <B >=<0 >, то система уравнений называетсяоднородной. В противном случае, когда <B >≠<0 > – системанеоднородна .

Система линейных уравнений (1) может быть записана в матричном виде

Здесь — столбец неизвестных.

Решить систему уравнений (1) — значит найти совокупность n чиселтакую, что при подстановке в систему (1) вместо неизвестныхкаждое уравнение системы обращается в тождество. Числа называются решением системы уравнений.

Система линейных уравнений может иметь одно решение

может иметь бесчисленное множество решений

или не иметь решений совсем

Системы уравнений, не имеющие решений, называются несовместными. Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называетсясовместной. Система уравнений называетсяопределенной. если она имеет единственное решение, инеопределенной. если имеет бесчисленное множество решений.

II. Совместность однородных и неоднородных систем.

Условие совместности системы линейных уравнений (1) формулируется в теореме Кронекера-Капелли. система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение в том и только в том случае, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы:.

Расширенной матрицей системы называют матрицу, получающуюся из матрицы системы приписыванием к ней справа столбца свободных членов:

Если RgA <RgA *. то система уравнений несовместна.

Однородные системы линейных уравнений в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли всегда совместны. Рассмотрим случай однородной системы, в которой число уравнений равно числу неизвестных, то есть т=п. Если определитель матрицы такой системы не равен нулю, т.е. однородная система имеет единственное решение, которое является тривиальным (нулевым). Однородные системы имеют бесчисленное множество решений, если среди уравнений системы есть линейно зависимые, т.е..

Пример. Рассмотрим однородную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

и исследуем вопрос о количестве ее решений. Каждое из уравнений можно считать уравнением плоскости, проходящей через начало координат (D=0 ). Система уравнений имеет единственное решение, когда все три плоскости пересекаются в одной точке. При этом их нормальные векторы некомпланарны, и, следовательно, выполняется условие

Если хотя бы две из трех плоскостей, например, первая и вторая, параллельны, т.е. то определитель матрицы системы равен нулю, а система имеет бесчисленное множество решений. Причем решениями будут координатыx,y,z всех точек, лежащих на прямой

Если же все три плоскости совпадают, то система уравнений сведется к одному уравнению

а решением будут координаты всех точек, лежащих в этой плоскости.

При исследовании неоднородных систем линейных уравнений вопрос о совместности решается с помощью теоремы Кронекера-Капелли. Если же число уравнений в такой системе равно числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если ее определитель не равен нулю. В противном случае система либо несовместна, либо имеет бесчисленное множество решений.

Пример. Исследуем неоднородную систему двух уравнений с двумя неизвестными

Уравнения системы можно рассматривать как уравнения двух прямых на плоскости. Система несовместна, когда прямые параллельны, т.е. В этом случае ранг матрицы системы равен 1:

а ранг расширенной матрицы равен двум, т. к. для нее в качестве базисного минора может быть выбран минор второго порядка, содержащий третий столбец.

В рассматриваемом случае RgA <RgA* .

Если прямые совпадают, т.е. то система уравнений имеет бесчисленное множество решений: координаты точек на прямой. В этом случаеRgA= RgA* =1.

Система имеет единственное решение, когда прямые не параллельны, т.е. Решением этой системы являются координаты точки пересечения прямых

III. Система т уравнений ст неизвестными. Правило Крамера.

Рассмотрим простейший случай, когда число уравнений системы равно числу неизвестных, т.е. m=n. Если детерминант матрицы системы отличен от нуля, решение системы может быть найдено по правилу Крамера:

Здесь — определитель матрицы системы,

— определитель матрицы, получаемой из [A ] заменойi -ого столбца на столбец свободных членов:

Пример. Решить систему уравнений методом Крамера.

1) найдем определитель системы

2) найдем вспомогательные определители

3) найдем решение системы по правилу Крамера:

Результат решения может быть проверен подстановкой в систему уравнений

Получены верные тождества.

IV. Матричный метод решения систем уравнений.

Запишем систему линейных уравнений в матричном виде (2)

и умножим правую и левую части соотношения (2) слева на матрицу [A-1 ], обратную матрице системы:

По определению обратной матрицы произведение [A-1 ][A ]=[E ], а по свойствам единичной матрицы [E ]<x >=<x >. Тогда из соотношения (2′) получаем

Соотношение (4) лежит в основе матричного метода решения систем линейных уравнений: необходимо найти матрицу, обратную матрице системы, и умножить на нее слева вектор-столбец правых частей системы.

Пример. Решим матричным методом систему уравнений, рассмотренную в предыдущем примере.

Матрица системы ее определительdetA ==183 .

Столбец правых частей .

Чтобы найти матрицу [A-1 ], найдем матрицу, присоединенную к [A ]:

В формулу для вычисления обратной матрицы входит. тогда

Теперь можно найти решение системы

Тогда окончательно получаем .

При большом числе неизвестных решение системы уравнений методом Крамера или матричным методом связано с вычислением определителей высокого порядка или обращением матриц больших размеров. Эти процедуры весьма трудоемки даже для современных ЭВМ. Поэтому для решения систем большого числа уравнений чаще пользуются методом Гаусса.

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных путем элементарных преобразований расширенной матрицы системы. К элементарным преобразованиям матрицы относят перестановку строк, сложение строк, умножение строк на числа, отличные от нуля. В результате преобразований удается матрицу системы свести к верхней треугольной, на главной диагонали которой стоят единицы, а ниже главной диагонали — нули. В этом заключается прямой ход метода Гаусса. Обратный ход метода состоит в непосредственном определении неизвестных, начиная с последнего.

Проиллюстрируем метод Гаусса на примере решения системы уравнений

На первом шаге прямого хода добиваются того, чтобы коэффициент преобразованной системы стал равен1. а коэффициентыиобратились в ноль. Для этого первое уравнение умножим на1/10. второе уравнение умножим на10 и сложим с первым, третье уравнение умножим на-10/2 и сложим с первым. После этих преобразований получим

На втором шаге добиваемся того, чтобы после преобразований коэффициент стал равным1. а коэффициент. Для этого второе уравнение разделим на42. а третье уравнение умножим на-42/27 и сложим со вторым. Получим систему уравнений

На третьем шаге должны получить коэффициент. Для этого третье уравнение разделим на(37 — 84/27) ; получим

На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается, т.к. матрица системы сведена к верхней треугольной:

Осуществляя обратный ход, найдем неизвестные

Таким образом,



когда слу не имеет решения:/ Лекции по математике (кафедра мехмата) / Тема_06 II. Совместность однородных и неоднородных систем. III. Система т уравнений с т неизвестными. Правило Крамера. IV. Матричный метод решения