Как установить сходимость несобственного интеграла

/ Госы 5к Надя / лекции_2 / Несобственные интегралы

Понятие было введено в предположении, что:

промежуток интегрирования конечен (отрезок [a ;b ]),

Такой определенный интеграл называется собственным (словособственныйопускают). Если какое-либо из этих условий не выполняется, то определенный интеграл называетсянесобственным. Различают несобственные интегралыIиIIрода.

1.Определение несобственного интеграла первого рода

Обобщим понятие определённого интеграла на бесконечный промежуток. Пусть f (x ) определена на промежутке [a ;+) и интегрируема в каждой конечной его части, т. е. . В этом случае существует интеграл . Ясно, что есть функция, определённая на [a ;+). Рассмотрим . Этот предел может существовать и не существовать, но независимо от этого он называетя несобственным интегралом первого рода и обозначается .

Определение. Если существует и конечен, то несобственный интеграл называетсясходящимся. а значение этого предела есть значение несобственного интеграла. . Если не существует или равен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Пример 1. Исследовать на сходимость интеграл , .

Если , то , а  интеграл сходится.

Если , то интеграл расходится.

Итак. сходится при и ;

2. Свойства несобственного интеграла первого рода

Так как несобственный интеграл определяется как предел интеграла Римана, то на несобственный интеграл переносятся все свойства, которые сохраняются при предельном переходе, то есть выполняются свойства 1-8. Теорема о среднем значении не имеет смысла.

3. Формула Ньютона – Лейбница

Пусть функция f непрерывна на [a ;+), F — первообразная и существует . Тогда справедлива формула Ньютона – Лейбница:

Геометрический смысл несобственного интеграла Iрода

Пусть функция f неотрицательна и непрерывна на [a ;+) и несобственный интеграл сходится. равен площади криволинейной трапеции с основанием [a ;b ], а равен площади с основанием [a ;+).

4. Несобственные интегралы от неотрицательных функций

Теорема 1. Пусть f (x )0 на [a ;+) и интегрируема на [a ;b ] b >a. Для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы множество интегралов было ограничено сверху, причём .

По определению несобственный интеграл сходится тогда и только тогда, когда существует конечный . Т.к.F (b ) не убывает, то этот предел существует тогда и только тогда, когда функция F (b ) ограничена сверху, то есть М >0: b >a. При этом

Расходимость несобственного интеграла означает, что , то есть .

Теорема 2. Пусть функцииf иg неотрицательны на [a ;+) и интегрируемы на [a ;b ]b >a. Пусть на [a ;+) выполнено

1) из сходимости интеграла (2) следует сходимость интеграла (3);

2) из расходимости интеграла (3) следует расходимость интеграла (2).

1) Пусть интеграл (2) сходится. По теореме 1 множество ограничено ограничено ограничено. По теореме1 сходится.

2) Пусть расходится. Докажем, что расходится интеграл (2). От противного. Предположим, что интеграл (2) сходится, но тогда по первой части теоремы сходится интеграл (3) – противоречие с условием.

Теорема 3. Пусть функции f и g неотрицательны на [a ;+) и интегрируемы на [a ;b ] b >a. Если существует (0k ), то

из сходимости интеграла при k < следует сходимость интеграла ,

из расходимости интеграла при k >0 следует расходимость интеграла .

1) Пусть k < и сходится.

Т. к. сходится, то сходится, значит, сходится . Тогда в силу (4) сходится . Отсюда сходится.

2) Пусть k >0 и расходится. В этом случае — конечное число. Если допустим противное – что интеграл сходится, то по доказанному в п. 1) получим, что тоже сходится, а это противоречит условию. Следовательно, сделанное предположение неверно, и расходится.

Замечание. Если в условиях теоремы 3 0<k< (конечное число, не равное 0), то интегралы (2) и (3) сходятся или расходятся одновременно.

Следствие 1. Если х>a ,k >0, >1, то сходится, если же х>a ,k >0, 1, то интеграл расходится.

Следствие 2. Пусть существует Тогда:

при >1, k 0 сходится,

при 1, k >0 расходится.

Пример. Исследовать на сходимость интеграл .

Iспособ (по следствию 1). . Т. к. , то данный интеграл сходится.

IIспособ (по следствию 2). Рассмотрим . Если , т.е. , то . Т. к. то интеграл сходится.

5. Абсолютная сходимость интеграла

Определение.Несобственный интегралназываетсяабсолютно сходящимся, если сходится интеграл.

Теорема 4. Из абсолютной сходимости несобственного интеграла следует его сходимость.

Т. к , то справедливо неравенство . Так как сходится абсолютно, то по определению сходится. Значит, сходится. Но сходится.

§2. Несобственные интегралы второго рода

1.Определение несобственного интеграла второго рода

Пусть f (x ) задана на [a ;b ], но неограниченна на нём. Пусть для определённости f (x ) неограниченна в левой окрестности точки b. , но в любом промежутке функция интегрируема. В этом случае точкуb называют особой точкой.

Определение.Несобственным интегралом второго рода функции f (x ) на [a ;b ] называется конечный или бесконечный предел интеграла при

Если предел (1) существует и конечен, то говорят, что интеграл сходится, и значение предела считают значением интеграла. Если предел (1) не существует или равен бесконечности, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично определяется интеграл функции f (x ), неограниченной в правой окрестности точкиа :

Пусть далее функция f (x ) неограниченна в окрестности точкис ,c (a ;b ) (внутренняя точка). Тогда

Пример 1. Исследовать на сходимость .

 1) : интеграл расходится.

Итак, интеграл сходится при , расходится при .

2. Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла второго рода

Пусть функция f (x ) определена и непрерывна в интервале [a ;b ) и вблизи точкиb функция неограниченна (b — особая точка функцииf (x )). Тогда дляf (x ) в этом промежутке существует первообразнаяF (x ) и >0 по формуле Ньютона-Лейбница имеем

Отсюда следует, что несобственный интеграл (1) существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел . В этом случае функцияF (x ) является непрерывной на отрезке [a ;b ]. Тогда, переходя в (2) к пределу при 0, получим формулу Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла второго рода

Итак. для вычисления несобственных интегралов второго рода можно использовать формулу Ньютона-Лейбница, если функцияF (x ) непрерывна на отрезке [a ;b ] иF (x )=f (x ) во всех точках, гдеf (x ) конечна.

Пример 2. Вычислить .

х =0 – особая точка. Первообразная непрерывна на [-1;27], в том числе, и в точкех =0, следовательно, можно применить формулу Ньютона-Лейбница:

Пример 3. Исследовать на сходимость .

х =0 – особая точка. Первообразная имеет в точкех =0 бесконечный разрыв. Следовательно, данный интеграл расходится и равен .

Заметим. что если не обратить на это внимание и формально применить формулу Ньютона-Лейбница, то получимневерный результат:

3. Несобственные интегралы второго рода от неотрицательных функций

Теорема 1. Пусть f (x )0 на [a ;b ) и интегрируема на [a ;b ]  >0. Для сходимости несобственного интеграла (1) необходимо и достаточно, чтобы множество интегралов ( >0) ограничено сверху. В противном случае интеграл (1) расходится и равен .

Для несобственных интегралов второго рода, как и для несобственных интегралов первого рода, имеют место теоремы сравнения 2 и 3. Сформулируем их без доказательства.

Теорема 2. Пусть функцииf иg неотрицательны на [a ;b ) и интегрируемы на [a ;b ] >0. Пусть на [a ;b ) выполнено

Тогда: 1) из сходимости интеграла следует сходимость интеграла;

2) из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Теорема 3. Пусть функции f и g неотрицательны на [a ;b ) и интегрируемы на [a ;b ]  >0. Если существует (0k ), то

из сходимости интеграла при k < следует сходимость интеграла ,

из расходимости интеграла при k >0 следует расходимость интеграла .

Замечание. Если в условиях теоремы 3 0<k< (конечное число, не равное 0), то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

В качестве функций сравнения удобно брать степенные функции: для промежутка [a ;b ) , а для промежутка (a ;b ] . Соответствующие интегралы , сходятся при. расходится при (в этом легко убедиться, сведя указанные интегралы линейной заменой переменной к интегралу , рассмотренному в примере 1).

Пример 4. Исследовать на сходимость .

х =1 – особая точка функции , т.к. .

, сходится . Следовательно, сходится.

IIспособ (по теореме 3). Пусть ,

Т. к. сходится, то сходится. 

Пример 5. Исследовать на сходимость .

х =0 – особая точка функции .

сходится. Значит, по теореме 3, сходится и. 

Пример 6. Исследовать на сходимость .

х =0 – особая точка функции f (x )=lnx. Пусть .

Это имеет место , в том числе, и при <1, когда сходится. Значит, по теореме 3 сходится и данный интеграл.



как установить сходимость несобственного интеграла:/ Госы 5к Надя / лекции_2 / Несобственные интегралы Понятие было введено в предположении, что: промежуток интегрирования конечен (отрезок [ a ; b ]), Такой определенный интеграл называется