Как разложить функцию в ряд тейлора по степеням х

/ FAIT1 / Ряды / Тема 3. Разложение функций в степенной ряд

Тема 3. Разложение функций в степенной ряд

3.1. Постановка задачи. Ряд Тейлора

В теории функциональных рядов центральное место занимает раздел, посвященный разложению функции в ряд.

Таким образом, ставится задача: по заданной функции требуется найти такой степенной ряд

который на некотором интервале сходился и его сумма была равна , т.е.

Эта задача называется задачей разложения функции в степенной ряд.

Необходимым условием разложимости функции в степенной ряд является её дифференцируемость бесконечное число раз – это следует из свойств сходящихся степенных рядов. Такое условие выполняется, как правило, для элементарных функций в их области определения.

Итак, предположим, что функция имеет производные любого порядка. Можно ли её разложить в степенной ряд, если можно, то как найти этот ряд? Проще решается вторая часть задачи, с неё и начнем.

Допустим, что функцию можно представить в виде суммы степенного ряда, сходящегося в интервале, содержащем точку х0:

Положим в равенстве (*) значение х = х0, тогда получим

Продифференцируем степенной ряд (*) почленно

и полагая здесь х = х0 , получим

При следующем дифференцировании получим ряд

После п -кратного дифференцирования получим

Полагая в последнем равенстве х = х0 , получим , откуда

Итак, коэффициенты найдены

подставляя которые в ряд (*), получим

Полученный ряд называется рядом Тейлорадля функции.

Таким образом, мы установили, что если функцию можно разложить в степенной ряд по степеням (х — х0), то это разложение единственно и полученный ряд обязательно является рядом Тейлора.

Заметим, что ряд Тейлора можно получить для любой функции, имеющей производные любого порядка в точке х = х0. Но это еще не означает, что между функцией и полученным рядом можно поставить знак равенства, т.е. что сумма ряда равна исходной функции. Во-первых, такое равенство может иметь смысл только в области сходимости, а полученный для функции ряд Тейлора может и расходиться, во-вторых, если ряд Тейлора будет сходиться, то его сумма может не совпадать с исходной функцией.

3.2. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора

Сформулируем утверждение, с помощью которого будет решена поставленная задача.

Если функцияв некоторой окрестности точки х0имеет производные до (n+ 1)-го порядка включительно, то в этой окрестности имеет местоформулаТейлора

гдеRn (х )-остаточный член формулы Тейлора – имеет вид (форма Лагранжа)

Отметим, что между рядом Тейлора и формулой Тейлора имеется различие: формула Тейлора представляет собой конечную сумму, т.е. п — фиксированное число.

Напомним, что сумма ряда S(x) может быть определена как предел функциональной последовательности частичных суммSп (x ) на некотором промежуткеХ :

Согласно этому, разложить функцию в ряд Тейлора означает найти такой ряд, что для любого хX

Запишем формулу Тейлора в виде , где

Заметим, что определяет ту ошибку, которую мы получаем, заменяй функцию f(x) многочленом Sn(x).

Если , то. т.е. функция разлагается в ряд Тейлора. И наоборот, если. то .

Тем самым мы доказаликритерий разложимости функции в ряд Тейлора.

Для того, чтобы в некотором промежутке функцияf(х) разлагалась в ряд Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке, гдеRn(x) — остаточный член ряда Тейлора.

С помощью сформулированного критерия можно получить достаточныеусловия разложимости функции в ряд Тейлора.

Если внекоторой окрестности точки х0абсолютные величины всех производных функции ограничены одним и тем же числом М0, т.е.

, то в этой окрестности функция разлагается в ряд Тейлора.

Из вышеизложенного следует алгоритмразложения функцииf(x) в ряд Тейлора в окрестности точких0:

2. Вычисляем значение функции и значения её производных в точке х0

3. Формально записываем ряд Тейлора и находим область сходимости полученного степенного ряда.

4. Проверяем выполнение достаточных условий, т.е. устанавливаем, для каких х из области сходимости, остаточный членRn(x) стремится к нулю при или .

Разложение функций в ряд Тейлора по данному алгоритму называют разложением функции в ряд Тейлора по определению илинепосредственным разложением.

3.3. Разложение в степенные ряды основных элементарных

Частный случай ряда Тейлора при х0 =0

называемся рядомМаклорена для функцииf(x).

Найдем разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.

Разложить в ряд Маклорена функцию .

Для решения задачи будем использовать алгоритм, сформулированный выше. Так как требуется разложить функцию в ряд Маклорена, следовательно, будем искать разложение в окрестности точки х0 = 0.

Найдем значение функции в точке х0 =0, производные функции доп -го порядка и их значения прих0 = 0:

Запишем формально ряд Маклорена по формуле

Заметим, что получили рад по нечетным степеням, так как коэффициенты при четных степенях (когда п — четное число) равны нулю.

Найдем область сходимости полученного ряда, для этого составим ряд из абсолютных величин членов ряда:

и применим к нему признак Д’Аламбера.

Так как величина предела не зависит от х и меньше единицы при любомх. то ряд сходится при всех значения, значит, область сходимости рядах (–,+).

Проверим выполнение достаточных условий. Очевидно, что

для п = 0,1,2. и для любых х ,

значит, функция разлагается в свой ряд Маклорена на всей числовой оси, т.е.

В рассмотренном примере для определения коэффициентов разложения функции в степенной ряд в окрестности точки х0 =0 мы последовательно дифференцировали функцию до тех пор, пока не смогли вывести формулу дляп -ой производной, и находили значения производных в данной точке. Затем выясняли, для какихх выполняются достаточные условия разложимости функции в ряд. Часто эти шаги приводят к громоздким вычислениям. Эти трудности иногда можно обойти, используяутверждение о том, чтополученное любым способом разложение функции в степенной ряд будет её разложением в ряд Тейлора. Поэтому, чтобы получить разложение функции в степенной ряд, можно использовать уже известные разложения элементарных функций ряд Маклорена, применяя к ним правила сложения, умножения рядов и теоремы об интегрировании и дифференцировании степенных рядов.

Например, разложение функции f(x)= cosx можно получить, продифференцировав почленно разложение в ряд Маклорена функцииf(x) =sinx.

Аналогично, используя алгоритм разложения и теоремы об интегрировании и дифференцировании степенных рядов, можно получить разложения в ряд Маклорена следующих элементарных функций:

Такое разложение называется биномиальным рядом. В частности, полагая в последнем разложениит = –1, получим

Заменяя в этом разложении х на выражение (–х ), получим

Используя теорему об интегрировании степенных рядов и применяя её к разложению в ряд Маклорена функции , получим

Заменяя в разложении функции переменную х на выражение и интегрирую, получим

Используя биномиальный ряд– разложение в ряд Маклорена функции , полагая , заменяях на выражение и интегрируя, получим

Используя известные разложения, разложить в ряд Мэклорена функцию .

Необходимо найти разложение функции в ряд Маклорена, т.е. в степенной ряд по степеням х. Будем использовать разложение

Это разложение справедливо, когда , откуда , тогда область сходимости .

Умножая обе части равенства на х. получим

Используя известные разложения, разложись функцию в ряд Тейлора в окрестности точких0 =1.

Необходимо получить разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точких0 = 1, т.е. по степеням (х –1).

Будем использовать разложение

Для того, чтобы получить разложение данной функции по степеням (х –1) введем новую переменнуюt=x –1, тогдах =t + 1. Преобразуем данную функцию к новой переменной, полагаях =t + 1:

Полагая в известном разложении вместо t выражение и умножая на число ,получим

Полагая в полученном разложении t=x –1, возвратимся к исходной переменнойх и получим разложение данной функции в степенной ряд по степеням (х -1):

Это разложение справедливо при условии , откуда .

Итак, получили разложение

Разложить функцию в степенной ряд в точке .

Преобразуем данную функцию, используя свойства логарифмов:

Используя известное разложение

разложение справедливо при 2х (–1;1), т.е. при .

и разложение справедливо при (–х )(–1;1), т.е. прих (–1;1).

Степенные ряды можно почленно складывать и умножать на число, значит

причем это разложение справедливо на общей области сходимости, т.е. при .

Разложить в ряд Маклорена функцию .

Используя известное разложение в ряд Маклорена функции у =(1+t ) m, полагая и , получим

Используемый биномиальный ряд при имеет область сходимости t (-1;1], следовательно, полученное разложение справедливо при , откуда , .

3.4. Применение рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, пределов функций, определенных интегралов, находят приближенные решения дифференциальных уравнений.

Остановимся на применении степенных рядов к приближенным вычислениям определенных интегралов.

Многие определенные интегралы, получающиеся при решение практических задач, не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, поскольку применение этой формулы связано с нахождением первообразной, которая не всегда выражается в элементарных функциях.

Если, однако, подынтегральная функция разлагается в степенной ряд, а отрезок интегрирования входит в область сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с любой заданной точностью.

Пусть требуется вычислить приближенно определенный интеграл с заданной точностью ε.. Для этого необходимо:

подынтегральную функцию разложить в степенной ряд, указав область сходимости;

— убедившись, что отрезок интегрирования [a,b ] входит в область сходимости ряда, проинтегрировать обе части этого равенства, причем правую часть проинтегрировать почленно. В результате, в простейших случаях, получается знакочередующийся числовой ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница, т.е. сходящийся ряд;

— в качестве приближенного значения интеграла берем значение частичной суммы Sn . числоп определяется из условия, что ошибка при замене суммы ряда его частичной суммой по абсолютной величине не превосходит первого из отброшенных членов ряда.

Вычислить приближенно интеграл с точностьюε= 0,1.

Данный интеграл относится к неберущимся интегралам. Однако подынтегральная функция разлагается в степенной ряд. Используем известное разложение в ряд Маклорена

Полагая t= -х 2. получим разложение подынтегральной функции в степенной ряд

Так как отрезок интегрирования [0;1] входит в область сходимости, то в этих пределах можно проинтегрировать обе части последнего равенства (ряд интегрируем почленно):

Получили числовой знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница. Так как модуль четвертого члена ряда меньше заданной точности ε = 0,1, т.е. , значит, членами ряда, начиная с четвертого, можно пренебречь. Таким образом, заданная точность обеспечивается первыми тремя членами ряда, т.е.

Вычислить приближенно интеграл с точностьюε =0,0001.

Используя биномиальное разложение функции (1+t ) m, полагая в нем и ,получим разложение подынтегральной функции в степенной ряд

Так как отрезок интегрирования [0;0,25] входит в область сходимости, то обе части последнего равенства можно проинтегрировать (правую часть почленно) по заданному отрезку, в результате получим

Заметим, что уже третий член ряда по абсолютной величине не превосходит заданной точности е = 0,0001, т.е. .

Следовательно, для обеспечения заданной точности е достаточно взять первых два члена полученного числового ряда.



как разложить функцию в ряд тейлора по степеням х:/ FAIT1 / Ряды / Тема 3. Разложение функций в степенной ряд Тема 3. Разложение функций в степенной ряд 3.1. Постановка задачи. Ряд Тейлора В теории функциональных рядов центральное место