Как найти sn в геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность b1. b2. bn. для которой для каждого натурального n выполняется равенство:

где q – это знаменатель геометрической прогрессии, q ≠ 0 и bn ≠ 0.

Пример: последовательность чисел 3, 12, 48, 192, 768. является геометрической прогрессией со знаменателем q = 4.

Знаменатель определяет вид геометрической прогрессии.

  1. Если q > 0, тогда все члены геометрической прогрессии имеют один и тот же знак, равный знаку b1 Пример: последовательность чисел 1, 2, 4, 8, 16. со знаменателем q = 2.
  2. Если q < 0, тогда знаки членов геометрической прогрессии чередуются
    Пример: последовательность чисел 2, –6, 18, –54, 162. со знаменателем q = –3.
  3. Если –1 < q < 1, тогда геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей
    Пример: последовательность чисел 400, 200, 100, 50, 25. со знаменателем q = 0.5.

Основные формулы геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии можно вычислить с помощью текущего и следующего членов геометрической прогрессии по формуле:

Члены геометрической прогрессии

Общая формула для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии по первому члену и знаменателю:

Следующий член геометрической прогрессии можно найти по предыдущему члену и знаменателю:

Предыдущий член геометрической прогрессии можно найти по следующему члену и знаменателю:

Также член геометрической прогрессии можно найти, если известны следующий и предыдущий члены:

Сумма геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна

Также сумму можно вычислить, используя другую формулу:

Решение задач на геометрическую прогрессию

Рассмотрим несколько типичных задач, посвященных геометрической прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия 3, 6, 12. Найти 8-ой член геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов.

b8 = b1 ⋅ q 7 = 3 ⋅ 2 7 = 3 ⋅ 128 = 384

S10 = b1 ⋅ (1 — q 10 ) / (1 — q) = 3 ⋅ (1 — 2 10 ) / (1 — 2) = 3 ⋅ (1 — 1024) / (–1) = 3069

Ответ: 384 и 3069



как найти sn в геометрической прогрессии:Геометрическая прогрессия: основные формулы и примеры. Формулы суммы и члена геометрической прогрессии.