Как найти расстояние между вершинами пирамиды

Решения типовых задач — Векторная алгебра

Нахождение элементов в пирамиде

Даны вершины пирамиды
и точка .
Найти:
а) длину ребра ;
б) косинус угла между рёбрами и ;
в) площадь грани ABC ;
г) объём пирамиды;
д) уравнение прямой, на которой лежит ребро ;
е) уравнение прямой, на которой лежит высота пирамиды, опущенная из вершины ;
Выяснить, лежат ли точки и по одну сторону плоскости грани
или по разные?

Решение
а) Длину найдём по формуле расстояния между двумя точками

б) Угол между рёбрами и будет равен углу между векторами и
Введём в рассмотрение векторы и и найдём их координаты:

в) Площадь грани ABС (площадь треугольника АВС )
Введём в рассмотрение векторы и и найдём их координаты:
,
Найдём
Далее и
г) Объём пирамиды
, ,
Найдём =

д) Прямая, на которой лежит ребро , проходит через точки и . Запишем уравнение этой прямой, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки и :
Для решаемой задачи или
е) Прямая, на которой лежит высота пирамиды , проходит через точку перпендикулярно плоскости BCD. Следовательно, нормальный вектор плоскости BCD будет являться направляющим вектором для прямой.
Уравнение плоскости BCD найдём, используя уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки :
Для решаемой задачи это точки , , и, следовательно, уравнение

, , .
Вектор является нормальным вектором плоскости , следовательно, этот вектор является направляющим вектором для прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости . Уравнение этой прямой
Выясним, лежат ли точки и по одну сторону плоскости грани или по разные?
Найдём уравнение плоскости грани как уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор :

.
Для решаемой задачи , а найден в п. в) решаемой задачи. Следовательно, уравнение плоскости грани : или .
Для всех точек , лежащих на плоскости, будет выполняться равенство , для точек, лежащих по одну сторону плоскости, будет выполняться неравенство , для точек, лежащих по другую сторону плоскости, — неравенство .
Для точки выполняется неравенство .
Для точки выполняется неравенство .

Следовательно, точки и лежат по одну сторону плоскости грани .

Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики.



как найти расстояние между вершинами пирамиды:Решения типовых задач — Векторная алгебра Нахождение элементов в пирамиде Даны вершины пирамиды и точка . Найти: а) длину ребра ; б) косинус угла между рёбрами и ; в) площадь грани ABC