Как найти коэффициенты кубического сплайна

Кубические сплайны

При рассмотрении изгиба изогнутость приходится представлять кривой более высоких порядков. В этом случае часто применяют кубические сплайн функции, когда функция интерполируется на каждом элементарном отрезке кубическим многочленом. На отрезке оси Ox зададим равномерную сетку с шагом . в узлах зададим значения функции . определенной на отрезке .

Внутри каждого элементарного отрезка заменим функцию функцией . удовлетворяющей следующим условиям:

1. непрерывна на вместе со своими производными первого и второго порядка;

2. на каждом отрезке является кубическим многочленом:

3. в узлах сетки выполняется равенство ;

4. удовлетворяет граничным условиям .

Требуется найти четверку неизвестных коэффициентов для всех Можно доказать, что задача нахождения кубического сплайна имеет единственное решение.

Потребуем выполнения третьего условия, совпадения значений функции в узлах с табличными значениями;

Число полученных уравнений 2n в два раза меньше числа неизвестных коэффициентов. Для составления оставшихся уравнений воспользуемся первым условием о непрерывности производных сплайна во всех точках. Приравняем левые и правые производные во внутреннем узле xk . вычислив предварительно выражение для производных последовательным дифференцированием (6.1)

Найдем правые и левые производные в узле:

Приравняв левые и правые производные, получим для:

Уравнения (6.6) дают еще 2(n-1) условий. Для получения недостающих уравнений накладывают требования к поведению сплайна на концах отрезка . При нулевой кривизне, когда вторая производная равна нулю, например, получим:

Исключив из уравнений (6.2)- (6.6) неизвестные ak . получим систему из 3n уравнений:

Решив эту систему, мы найдем значения неизвестных ak ,bk ,ck определяющих совокупность формул для искомого интерполяционного сплайна

Для вычисления коэффициентов сплайнов в Mathcad предназначены функции, возвращающие массив коэффициентов:

Во всех этих функциях х-массив абсцисс. а y- массив ординат экспериментальных точек. После вычисления коэффициентов сплайнов можно вычислить значение интерполяционного полинома в конкретной точке t, обратившись к функции interp(x,U,P,t), где х- массив коэффициентов сплайнов

Пример 6.1 В результате опыта холостого хода определена таблица зависимости потребляемой из сети мощности P от выходного напряжения U для асинхронного двигателя. Построить график интерполяционной зависимости. При решении воспользуемся встроенными функциями сплайновой аппроксимации в Mathcad

Построим графики этих функций.



студопедия, школопедия, лекция, реферат, пособие, бесплатно, методичка:Кубические сплайны При рассмотрении изгиба изогнутость приходится представлять кривой более высоких порядков. В этом случае часто применяют кубические сплайн функции, когда функция интерполируется