Чему равна циклическая частота колебательного контура

Колебаниями называютсяпроцессы, характеризуемые определённой повторяемостью со временем. Можно без преувеличения сказать, что мы живём в мире колебаний и волн. Действительно, живой организм существует благодаря периодическому биению сердца, наши лёгкие колеблются при дыхании. Человек слышит и разговаривает вследствие колебаний его барабанных перепонок и голосовых связок. Световые волны (колебания электрических и магнитных полей) позволяют нам видеть. Другими важными примерами являются переменный ток, электромагнитные колебания в колебательном контуре, радиоволны и т.д. Как видно из приведённых примеров, природа колебаний различна. Однако они сводятся к двум типам—механическим и электромагнитным колебаниям. Оказалось, что, несмотря на различие физической природы колебаний, они описываются одинаковыми математическими уравнениями.

Любая система, способная колебаться или в которой могут происходить колебания. называетсяколебательной . Колебания, происходящие в колебательной системе, выведенной из состояния равновесия и представленной самой себе, называютсвободными колебаниями . Свободные колебания являются затухающими, так как энергия, сообщённая колебательной системе, постоянно убывает. Рассмотрим сначала колебания, полностью пренебрегая причинами, приводящими к убыванию энергии.

1. Гармонические колебания .Гармоническими называютколебания, при которых какая-либо физическая величина, описывающая процесс, изменяется со временем по закону косинуса или синуса:

Выясним физический смысл постоянных A ,и, входящих в это уравнение.

Константа A называется амплитудой колебания.Амплитуда —этонаибольшее значение, которое может принимать колеблющаяся величина. Согласно определению, она всегда положительна. Выражениеt +, стоящее под знаком косинуса, называютфазой колебания . Она позволяет рассчитать значение колеблющейся величиныs в любой момент времени. Постоянная величинапредставляет собой значение фазы в момент времениt = 0 и поэтому называетсяначальной фазой колебания . Значение начальной фазы зависит от выбора начала отсчёта времени. Величинаполучила название циклической частоты, физический смысл которой связан с понятиями периода и частоты колебаний.Периодом незатухающих колебаний называетсянаименьший промежуток времени, по истечении которого процессы повторяются, или коротковремя одного полного колебания.Число колебаний, совершаемых в единицу времени, называютчастотой колебаний . Частотасвязана с периодомT колебаний соотношением

Частота колебаний измеряется в герцах (Гц). Циклическая частота связана с периодом и частотой колебаний соотношением:

Из этого соотношения следует физический смысл циклической частоты. Она показывает, сколько колебаний совершается за 2 секунд.

2.Пружинный маятник. Пружинный маятник представляет собой тело массой, подвешенное на пружине. Массой пружины и силами трения пренебрегаем.

Рассмотрим превращения энергии, происходящие при колебании такого маятника. Уравнение колебаний пружинного маятника имеет вид:

где Xm и0 —амплитуда колебания и циклическая частота колебания (см. (1)). Это выражение получается из (1) заменойнаx иA наXm. учитывая, что Здесьk —коэффициент жёсткости пружины,т — масса тела. Полная механическая энергияW пружинного маятника представляет собой сумму кинетической энергииWk тела и потенциальной энергииWp деформированной пружины, т.е.

Потенциальная энергия деформированной пружины находится по формуле Wp= kx 2 / 2, гдеx —величина удлинения пружины, равная отклонению тела от положения равновесия. С учётом (4) получаем:

так как Кинетическая энергия тела равнаWk= (1/2)m . Согласно определению скорость тела при движении вдоль координатной осиx равна Тогда скорость тела, совершающего гармонические колебания по закону (4), находим по формуле: Поэтому

Подставляя (6) и (7) в (5), находим

поскольку sin 2 (0t + ) + cos 2 (0t + ) = 1. Таким образом, как следует из (8), полная механическая энергия при свободных гармонических колебаниях не зависит от времени, т.е. остается величиной постоянной. Из соотношений же (6) и (7) вытекает, что потенциальная и кинетическая энергии изменяются со временем пропорционально cos 2 (0t + ) и sin 2 (0t + ) соответственно. Поэтому, когда одна из них увеличивается, другая уменьшается. Следовательно, в процессе механических колебаний происходит периодический переход потенциальной энергии в кинетическую энергию и обратно. Важно отметить, что энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды колебаний (см. (8)).

3. Колебательный контур.Колебательным контуром называют электрическую цепь, состоящую из индуктивности и ёмкости. Электрическим сопротивлением контура пренебрегаем.

Рассмотрим теперь электромагнитные колебания в колебательном контуре. Уравнение колебаний заряда q на конденсаторе записывается в виде:

где qm амплитуда колебания заряда,0 циклическая частота колебаний (см. (1)). Циклическая частота находится по формуле гдеL индуктивность катушки, С — ёмкость конденсатора.

Энергия W колебательного контура складывается из энергииWE электрического поля конденсатора и энергииWB магнитного поля индуктивности, т.е.

Но WE =q 2 /(2C ), гдеq величина заряда на конденсаторе,C ёмкость конденсатора. Учитывая (9), получаем, что

Энергия магнитного поля находится по формуле WB =Li 2 /2. Здесьi сила тока, проходящего через проводник. Сила токаi в контуре находится дифференцированием соотношения (9) по времени: Тогда Поскольку то

Подставляя (11) и (12) в (10), находим

Из соотношений же (11) и (12) следует, что энергии электрического и магнитного полей изменяются со временем пропорционально cos 2 (0t + ) и sin 2 (0t + ) соответственно. Поэтому, когда одна из них увеличивается, другая уменьшается. Следовательно, в процессе колебаний происходит периодический переход энергии электрического поля в энергию магнитного и обратно, т.е. происходят электромагнитные колебания. Важно отметить, что энергия колебаний также пропорциональна квадрату амплитуды.

До сих пор были рассмотрены идеализированные незатухающие колебания, которые возникали в колебательной системе, когда не происходит потери энергии. Однако такие потери всегда есть вследствие наличия сил трения и нагревания проводников в колебательном контуре. Рассмотрим теперь реальные колебательные системы, в которых наблюдается убывание энергии, сообщённой ей. Уравнение колебаний в этом случае записывается в виде:

где введено обозначение Здесьпредставляет собой циклическую частоту затухающих колебаний, а0 —собственную циклическую частоту, в отсутствии потерь энергии при колебаниях. График зависимости (14) показан на рис. 1). Из графика видно, что величинапериодически достигает максимума и минимума. В этом смысле процессы, описываемые уравнением (14), можно считать колебательными. Их называютзатухающими колебаниями . Наименьший промежуток времениT. через который повторяются максимумы (или минимумы) называютпериодом затухающих колебаний. Выражение

стоящее перед периодической функцией cos(t+) в формуле (14), рассматривают как амплитуду затухающих колебаний. Она экспоненциально убывает со временем (см. пунктирную кривую на рис. 1). ВеличинаA0 представляет собой амплитуду колебания в момент времениt = 0, т.е. это начальная амплитуда затухающих колебаний. Величина, от которой зависит убывание амплитуды, называетсякоэффициентом затухания. Чем больше коэффициент затухания, тем колебания быстрее прекращаются.

ассмотрим характеристики затухающих колебаний. Из выражения (15) теоретически следует, что амплитуда затухающих колебаний становится равной нулю приt . В связи с этим трудно охарактеризовать быстроту затухания. Поэтому вводят промежуток времени, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается вe раз (e 2,718основание натуральных логарифмов), т.е.A (t )/A (t + ) = e. Подставляя (15) в это выражение, получаем: . Отсюда = 1 и= 1/, т.е. коэффициент затухания обратно пропорционален времени, за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз.

аряду с коэффициентом затухания используется также понятие логарифмического декремента затухания.Логарифмическим декрементом затухания называют натуральный логарифм от отношения амплитуд затухающих колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период колебания, т.е.

Выясним его физический смысл. Используя выражение (15), из (16), находим: Но= 1/и=NеT. гдеNe —число колебаний за время. Тогдаd = T/=T/ (NeT )= 1/Ne. т.е.логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, по истечении которых амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ЯВЛЕНИЕ РЕЗОНАНСА

Вынужденными называютколебания, происходящие под действием периодически изменяющегося воздействия, а сами воздействия называются вынуждающими. Вынужденные колебания происходят с частотой, равной частоте вынуждающих воздействий. В качестве примера рассмотрим вынужденные колебания пружинного маятника. В этом случае на тело, кроме силы упругости и трения, действует вынуждающая силаF. изменяющаяся со временем по законуF =Fm· cos Ωt. гдеFm и Ω — амплитуда и циклическая частота колебания. Пусть циклическая частота вынуждающей силы меньше собственной частоты пружинного маятника, равной В этом случае маятник совершает гармонические колебания с некоторой амплитудойАВ. Затем начинаем плавно увеличивать частоту вынуждающей силы. При этом амплитуда вынужденных колебаний возрастает. При Ω  амплитуда становится максимальной и при дальнейшем увеличении частоты амплитуда вынужденных колебаний снова уменьшается (рис. 3). Аналогичная зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты наблюдается при электромагнитных колебаниях, происходящих в колебательном контуре.Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, когда частота вынуждающих воздействий примерно равна собственной частоте колебательной системы. называетсярезонансом .

Явление резонанса широко используется в технике. Оно может быть как полезным, так и вредным. Так, например, явление электрического резонанса играет полезную роль при настройке радиоприёмника на нужную радиостанцию. Изменяя величины индуктивности и ёмкости, можно добиться того, что собственная частота колебательного контура совпадёт с частотой электромагнитных волн, излучаемых какой-либо радиостанцией. В результате этого в контуре возникнут резонансные колебания данной частоты, амплитуды же колебаний, создаваемых другими станциями, будут малы. Это приводит к настройке радиоприёмника на нужную станцию.

С возможностью резонанса приходится считаться при сооружении мостов, производственных зданий, дымовых труб, высотных зданий и т.д. С целью ограничения разрушающего действия резонанса в производственных зданиях под агрегаты (источники вибрации) устанавливаются виброизоляторы. При расчёте высоких и гибких сооружений (дымовые трубы, висячие мосты и т.п.) на ветровую нагрузку предусматривают мероприятия по устройству обтекателей, виброгасителей. Для ограничения передачи колебаний от источника вибраций сооружениям через грунт, в грунте копают глубокие траншеи и наполняют их керамзитом, хорошо поглощающим энергию колебаний.

Представление о волнах пронизывает нашу жизнь и всю современную технику: волны на море и сейсмические волны в земле, звуковые волны, электромагнитные волны (радиоволны, свет, рентгеновское излучение) и т.д. Волна —этопроцесс распространения колебаний (возмущения) в пространстве .Геометрическое место точек, до которых дошли колебания, называютфронтом волны . Фронт волны представляет собой поверхность, отделяющую область пространства, в которой происходят колебания, от области, где их ещё нет. Все точки фронта волны колеблются в одинаковых фазах, поскольку колебания в них

начинаются одновременно. Форма фронта волны может быть различной. Простейшими являются сферические иплоские волны, фронт которых соответственно сфера и плоскостьЛинии, вдоль которых происходит распространение волны. называютсялучами . В однородных изотропных средах лучи перпендикулярны к фронту волны. Независимо от фронта волны различают волны продольные и поперечные. Впродольной волне колебания происходят вдоль направления распространения; впоперечной —перпендикулярно к направлению распространения.Волны, во всех точках которых совершаются гармонические колебания одинаковой частоты, называютсямонохроматическими волнами .



чему равна циклическая частота колебательного контура:Колебаниями называются процессы, характеризуемые определённой повторяемостью со временем. Можно без преувеличения сказать, что мы живём в мире колебаний и волн. Действительно, живой организм